Beugung am Gitter
Beugung am Gitter
Task-Nummer: 1969
Ein Gitter mit einer Rillenperiode \ (b \) mit \ (n \) Schlitze insgesamt wird mit Licht der Wellenlänge \ (\ lambda \) beleuchtet. Ein Bildschirm ist parallel mit dem Gitter in einem discance \ (L \).
Beurteilung der Verteilung der Lichtintensität auf dem Schirm der Annahme, dass der Schlitze kohärente Lichtquellen mit ihrer Breite sind sehr viel niedriger als ihr Abstand. Beurteilung der Abstand der Maxima der Beugungsmuster.
- Die Schlitze sind mit einer harmonischen ebenen Welle beleuchtet, die entlang der Richtung der Schlitze und fällt senkrecht auf das Gitter polarisiert ist.
- Betrachten sehr schmale Schlitze - so daß die erste minimim der Beugung von Licht an einem einzigen Schlitz weit aus dem Bildschirm ist. Mit anderen Worten gehen davon aus, daß die Beleuchtung des Bildschirms durch einen Schlitz mit dem Bildschirmabstand gegeben und Spaltbreite würde gleichförmig sein.
- Löst die Aufgabe, innerhalb der Fraunhofer-Näherung der Beugung, \ (L \ gg nb \).
Diese Aufgabe ist eine Erweiterung der Interferenzexperiment Aufgabe Young. wo nur zwei slist verwendet. Das Ergebnis der vorliegenden Aufgabe sollte auf die gleichen Gleichungen für \ (n = 2 \) kondensiert.
- Wir verwenden die komplexe Darstellung der elektromagnetischen Welle in dieser Aufgabe, die im Detail in einer verwandten Aufgabe eingeführt wird. Es wird auch in der Aufgabe, komplexe Darstellung und die Harmonic ebenen Welle verwendet.
- Wir sollen die Aufgabe, in der Angleichung der Fraunhofer-Beugung, das heißt in einem sehr weit entfernten Bildschirm lösen. Dieser Zustand ermöglicht es uns, einige hilfreiche Vereinfachungen bei der Berechnung zu machen.
- Es tritt keine Änderung der Polarisation (Richtung des elektrischen Feldvektors) des einfallenden Lichts für die Polarisation entlang der Schlitze gerichtet ist. Es ist also genug, um die Gleichungen für die Stärke des elektrischen Feldes zu lösen.
- Die Schlitze sind sehr eng, gehen wir davon aus, daß die Beleuchtung des Bildschirms von einem einzelnen Schlitz gleichförmig sein würde. Wir betrachten daher die Schlitze linear Quellen von zylindrischen Wellen zu sein. Das elektrische Feld von einer zylindrischen Welle mit Abstand \ (r \) von der Quelle Schlitz \ [E_ \ mathrm (t, r) = \ frac_0 >> e ^ \] wobei \ (\ mathcal_0 \) ist eine Menge Verwandte auf die Intensität des Lichts an dem Schlitz und an die Breite des Schlitzes fallen.
- In einem großen Abstand können die zylindrischen Wellen lokal angenommen werden planar und die Intensität des Lichts des resultierenden elektrischen Feldes kann für ebene Wellen unter Verwendung der einfachen Formel berechnet werden: \ [I = \ frac EE ^ * \] wobei Sternchen bedeutet, dass das komplexe Konjugat und \ (z_0 = \ sqrt> \) die Impedanz des Vakuums ist.
- Man kann approximieren, für kleine Winkel \ (\ delta \ ll 1 \), daß \ [\ sin \ delta \, \ approx \, \ tan \ delta. \]
Tipp 1 - Überlagerung des elektrischen Feldes
Zeichne ein Bild von der Situation in der Nähe des Gitters und zeigen den Weg differencesfor Wellen auf den Bildschirm von einzelnen Schlitze fällt. Berechnen Sie die erzeugte elektrische Feld durch die Summe der Wellen mit Pfaden \ (L_1, L_2 \) \ (I _ n \).
Danach notieren Sie die komplexe Konjugierte des resultierenden elektrischen Feldes \ (E ^ \ star \).
Tipp 1 Lösung - Überlagerung von elektrischen Feldern
Das elektrische Feld der aus dem 1. kommenden Welle. 2.. bis n-ten Schlitz an einem gegebenen Punkt auf dem Bildschirm, der in einem Abstand \ ist (L_1, L_2 \) zu \ (I _ n \) verbunden ist, von dieser Schlitzen ist:
Das resultierende Feld an einem bestimmten Punkt auf dem Bildschirm direkt die Summe dieser Felder, weil sie alle in dem gleichen Polarisationszustand, sind:
Wir Faktor aus den Exponenten (Phasen) der Zeit und der Entfernung zu dem ersten Schlitz:
Lassen Sie uns auf das Ergebnis der Summierung konzentrieren jetzt. Wir drücken die Wegdifferenz des \ (j \) -te Welle in Bezug auf den ersten Schlitz ein Vielfaches der Gitterkonstante \ Verwendung (b \) einen Winkel \ (\ alpha \).
Wir ziehen den Loten von dem ersten Schlitz auf die Wellenwege. Für einen weit genug Bildschirm, können wir die Pfade von unterschiedlichen Schlitzen betrachten, dass sie parallel und alle Winkel \ (\ alpha \) gleich sein.
Es gilt dann
und die Wegdifferenz für die \ (j \) -ten Schlitz ist:
\ [\ Delta l_j = (j-1) \, b \, \ sin \ alpha. \]
Nach dem Einsetzen in die Gleichung (1). wir bekommen
Wir können sehen, dass wir die \ sind Summieren (n \) erste Glieder einer geometrischen Reihe mit dem ersten Term \ (1 \) und dem gemeinsamen Verhältnis \ (e ^ \). Wir führen die Summe:
Und wir bekommen das resultierende elektrische Feld nach einer einfachen Anordnung:
Die Komplex-Konjugierte des resultierenden elektrischen Feldes ist dann:
Tipp 2 - Lichtintensität auf dem Bildschirm
Berechnen Sie die Abhängigkeit der Intensität des Lichts auf dem Winkel \ (\ alpha \) aus der folgenden Formel
durch die berechnete elektrische Feld und seine komplexe Konjugierte verwenden.
Tipp 2 Lösung - Lichtintensität auf dem Bildschirm
Wir verwenden das berechnete elektrische Feld und die Formel für die Intensität des Lichtes:
Es gibt haben ähnliche Ausdrücke im Zähler und im Nenner in der Fraktion über. Lassen Sie uns mit einem allgemeinen imaginar Exponenten \ (\ xi \) getrennt einen äquivalenten Ausdruck verarbeiten:
Mit dem bestimmten Exponenten im Zähler und im Nenner des Bruchs in Funktion \ (I \), so erhalten wir:
Wir zeichnen die Abhängigkeit \ (I = I (\ sin \ alpha) \)
Wir beobachten eine Reihe von scharfen Maxima auf dem Bildschirm.
Tipp 3 - Trennung von Hauptmaxima
Beurteilung der Abstand zwischen dem Hauptinterferenzmaxima auf dem Bildschirm für kleine Winkel \ (\ alpha \).
Bestimmen, die die Abhängigkeit des Abstandes der Maxima auf \ (L, \, \ lambda \) und \ (b \).
Tipp 3 Lösung - Trennung von Maxima
Für kleine Werte des Winkels, \ (\ alpha \ ll 1 \) kann man approximieren:
\ [\ Sin \ alpha \, \ approx \, \ tan \ alpha = \ frac, \]
wobei \ (\ alpha \) ist die Neigung der Strahlen, die von der Normalen auf den Bildschirm.
Gleichung (2) ergibt nach subtituting \ (\ sin \ alpha \) mit \ (\ frac \):
Lassen Sie uns die Trennung der Hauptmaxima des Interferenzmusters beurteilen. Die periodische Funktion im Nenner der Interferenz Formel (3) wird mit der „schnellen“ Funktion im Zähler moduliert, die eine große Anzahl (proportional zu \ (n \)) von geringen Interferenzmaximum erzeugt.
Die Maxima der Lichtintensität auftritt, wenn die Nennerfunktion gegen Null geht, das heißt, wenn ihr Argument ein ganzzahliges Vielfaches von \ (\ pi \). Die Trennung \ (s \) die Hauptmaxima entlang der \ (x \) Achse ist somit:
Die Trennung der Hauptmaxima:
Das Interferenzmuster erweitert sich mit zunehmendem Abstand \ (L \) des Bildschirms von dem Gitter und mit zunehmender Wellenlänge \ (\ lambda \) des interferierenden Lichts und engt mit zunehmenden Gitterparametern \ (b \).
Das elektrische Feld der aus dem 1. kommenden Welle. 2.. bis n-ten Schlitz an einem gegebenen Punkt auf dem Bildschirm, der in einem Abstand \ ist (L_1, L_2 \) zu \ (I _ n \) verbunden ist, von dieser Schlitzen ist:
Das resultierende Feld an einem bestimmten Punkt auf dem Bildschirm direkt die Summe dieser Felder, weil sie alle in dem gleichen Polarisationszustand, sind:
Wir Faktor aus den Exponenten (Phasen) der Zeit und der Entfernung zu dem ersten Schlitz:
Lassen Sie uns auf das Ergebnis der Summierung konzentrieren jetzt. Wir drücken die Wegdifferenz des \ (j \) -te Welle in Bezug auf den ersten Schlitz ein Vielfaches der Periode Nut \ Verwendung (b \) einen Winkel \ (\ alpha \).
Wir ziehen den Loten von dem ersten Schlitz auf die Wellenwege. Für einen weit genug Bildschirm, können wir die Pfade von unterschiedlichen Schlitzen betrachten, dass sie parallel und alle Winkel \ (\ alpha \) gleich sein.
Es gilt dann
und die Wegdifferenz für die \ (j \) -ten Schlitz ist:
\ [\ Delta l_j = (j-1) \, b \, \ sin \ alpha. \]
Nach dem Einsetzen in die Gleichung (4). wir bekommen
Wir können sehen, dass wir die \ sind Summieren (n \) erste Glieder einer geometrischen Reihe mit dem ersten Term \ (1 \) und dem gemeinsamen Verhältnis \ (e ^ \). Wir führen die Summe:
Und wir bekommen das resultierende elektrische Feld nach einer einfachen Anordnung:
Die Komplex-Konjugierte des resultierenden elektrischen Feldes ist dann:
Wir verwenden das berechnete elektrische Feld und die Formel für die Intensität des Lichtes:
Es gibt haben ähnliche Ausdrücke im Zähler und im Nenner in der Fraktion über. Lassen Sie uns mit einem allgemeinen imaginar Exponenten \ (\ xi \) getrennt einen äquivalenten Ausdruck verarbeiten:
Mit dem bestimmten Exponenten im Zähler und im Nenner des Bruchs in Funktion \ (I \), so erhalten wir:
Wir zeichnen die Abhängigkeit \ (I = I (\ sin \ alpha) \)
Wir beobachten eine Reihe von scharfen Maxima auf dem Bildschirm.
Für kleine Werte des Winkels, \ (\ alpha \ ll 1 \) kann man approximieren:
\ [\ Sin \ alpha \, \ approx \, \ tan \ alpha = \ frac, \]
wobei \ (\ alpha \) ist die Neigung der Strahlen, die von der Normalen auf den Bildschirm.
Gleichung (5) ergibt nach subtituting \ (\ sin \ alpha \) mit \ (\ frac \):
Lassen Sie uns die Trennung der Hauptmaxima des Interferenzmusters beurteilen. Die periodische Funktion im Nenner der Interferenz Formel (6) wird mit der „schnellen“ Funktion im Zähler moduliert, die eine große Anzahl (proportional zu \ (n \)) von geringen Interferenzmaximum erzeugt.
Die Maxima der Lichtintensität auftritt, wenn die Nennerfunktion gegen Null geht, das heißt, wenn ihr Argument ein ganzzahliges Vielfaches von \ (\ pi \). Die Trennung \ (s \) die Hauptmaxima entlang der \ (x \) Achse ist somit:
Die Trennung der Hauptmaxima:
Das Interferenzmuster erweitert sich mit zunehmendem Abstand \ (L \) des Bildschirms von dem Gitter und mit zunehmender Wellenlänge \ (\ lambda \) des interferierenden Lichts und engt mit zunehmenden Gitterparametern \ (b \).
Das Layout der Lichtintensität in der Annäherung eines sehr entfernten Bildschirm ist:
wobei \ (\ alpha \) ist der Winkel zwischen dem Weg der Störwellen von dem Gitter zu dem gegebenen Punkt auf dem Bildschirm, und den Normalen auf den Schirm gebildet.
Die Funktion \ (I = I (\ sin \ alpha) \) kann wie folgt dargestellt werden:
Die Beziehung zwischen der Trennung der Hauptmaxima und den anderen Parametern des Experiments ist:
Das Interferenzmuster erweitert sich mit zunehmendem Abstand \ (L \) des Bildschirms von dem Gitter und mit zunehmender Wellenlänge \ (\ lambda \) des interferierenden Lichts und engt mit zunehmenden Gitterparametern \ (b \).
ergibt überall endliche Werte.
Warum funktioniert die Intensität Aufstieg bis ins Unendliche für \ (\ sin \ alpha \ 0 \), die eine Null im Nenner macht?
In der Tat ist es nicht möglich, das Verhalten des Nenners eines Bruchs zu inspizieren, ohne den Zähler zu suchen. Der Zähler ebenfalls auf Null für die gleichen Werte von \ neigt (\ alpha \) und man hat das Grenzverhalten der Fraktion als Ganzes zu untersuchen. In der Sprache der Mathematik:
Und in unserem Fall:
Aufgabenliste Filter?
Wählen Sie erforderliche Reihen und erforderliche Aufgaben. Das Inhaltsverzeichnis wird nur Aufgaben Liste eine der erforderlichen Reihen mit in entsprechenden Rankings und mindestens eine der erforderlichen Tags (insgesamt). Wenn Sie nur nach einigen Rankings oder Tags filtern möchten, lassen Sie die anderen Gruppen leer.
Aufgabe Rankings
Schwierigkeitsgrad Level 1 - Sekundarstufe Stufe 2 - Sekundarstufe II Level 3 - Erweiterte Sekundarbereich Stufe 4 - Erststudium
Allgemeine Qualitative Aufgabe Grafische Aufgabe Aufgabe mit ungewöhnlicher Lösung komplexer Aufgabe Aufgabe mit Theorie Aufgabe erfordert zusätzliche Konstanten
Aufgaben Cognitive Operation erfordert Identifizierung Fakten Aufgaben konzentrierten sich auf Analyse-Aufgaben konzentrierten sich auf die Synthese Aufgaben, die den Vergleich und Gegensatz Aufgaben, die Kategorisierung und Klassifizierung Aufgaben zu identifizieren Beziehungen zwischen Fakten Aufgaben, die Abstraktion und Verallgemeinerung Aufgaben dem Ziel Spezifikation Aufgaben Routine Berechnungen Aufgaben, die erforderlich Transformation von Fakten Aufgaben, die Interpretation, Erklärung oder Rechtfertigung Aufgaben, die Induktion Aufgaben Abzug Aufgaben, die bei Proving Ziel und Aufgaben Überprüfung erfordert die Bewertung und Beurteilung Aufgaben Physik Aufgaben Challenging die eigenen Ideen erfordern