Die inverse Laplace-Transformation
Wir könnten diese Beziehungen verwendet haben A1 zu bestimmen. A2. und A3. Aber A1 und A3 wurden leicht gefunden Verfahren unter Verwendung des „Vertuschung“. Die Top-Beziehung sagt uns, dass A2 -0,25 =, so
(Wobei, wiederum, ist es implizit, daß f (t) = 0, wenn t<0).
Viele Texte verwenden, ein Verfahren, basierend auf der Differenzierung der Fraktion, wenn es wiederholt Wurzeln. Die Technik beinhaltet die Differenzierung von Verhältnissen von Polynomen, die zu Fehlern neigen. Details sind hier, wenn Sie interessiert sind.
Ein weiterer Fall, oft kommt ist, dass der konjugiert komplexen Wurzeln. Betrachten wir den Anteil:
Der zweite Term im Nenner nicht in real berücksichtigt werden. Dies lässt uns mit zwei Möglichkeiten - entweder die komplexen Wurzeln akzeptieren, oder einen Weg finden, den Term zweiter Ordnung aufzunehmen.
Beispiel: Komplex-Konjugierte Roots (Methode 1)
Unter Verwendung der Komplex (erste Ordnung) Wurzeln
Vereinfachen die Funktion F (s), so dass es Transformations-Tabelle in der Laplace nachgeschlagen werden kann.
Man beachte, dass A2 und A3 muß komplexes Konjugate voneinander entfernt sein, da sie auf dem imaginären Teil bis auf das Vorzeichen gleich sind. Die Durchführung der erforderlichen Berechnungen:
Die inverse Laplace-Transformation ist unten (Methode 1) gegeben.
Beispiel: Komplex-Konjugierte Roots (Methode 2)
Methode 2 - Verwendung des Polynoms zweiter Ordnung
Vereinfachen die Funktion F (s), so dass es Transformations-Tabelle in der Laplace nachgeschlagen werden kann.
Lösung:
Eine weitere Möglichkeit, den Anteil zu erweitern, ohne auf komplexe Zahlen zurückgegriffen wird die Expansion durchzuführen, wie folgt.
Beachten Sie, dass der Zähler des zweiten Term ist nicht mehr eine Konstante ist, sondern ein Polynom erster Ordnung. Von oben (oder mit der Cover-up-Methode) wissen wir, dass A = -0,2. Wir können die Mengen B und C aus Quer Multiplikation finden.
Wenn wir wie Kräfte der „s“ gleichsetzen wir bekommen
Reihenfolge der
Koeffizient
Da wir wissen bereits, dass A = -0,2, der erste Ausdruck (0 = A + B) sagt uns, dass B = 0,2, und der letzte Ausdruck (3 = 5 A + 5C) sagt uns, dass C = 0,8. Wir können den mittleren Ausdruck verwenden (1 = 4A + 5B + C) unsere Berechnungen zu überprüfen. Schließlich erhalten wir
Die inverse Laplace-Transformation ist unten (Methode 2) gegeben.
Die beiden vorherigen Beispiele wurden zwei Techniken zeigten eine Partialbruchentwicklung eines Begriffs mit komplexen Wurzeln durchzuführen. Die erste Technik war eine einfache Erweiterung der Regel mit verschiedenen reellen Wurzeln für den Umgang. Es ist konzeptionell einfach, kann aber schwierig sein, wenn wegen der Notwendigkeit von Hand arbeitet für die Verwendung von komplexen Zahlen; es ist leicht mit dem Computer. Die zweite Technik ist leicht von Hand zu tun, sondern ist vom Konzept her ein bisschen schwieriger. Es ist leicht zu zeigen, dass die beiden resultierenden Teilfraktion Darstellungen zueinander äquivalent sind. Lassen Sie uns zuerst das Ergebnis aus Methode 1 (unter Verwendung von zwei Techniken) untersuchen.
Wir beginnen mit Methode 1 ohne besondere Vereinfachungen.
Methode 1 - Brute-Force-Technik
Wir wiederholen nun diese Berechnung, aber im Prozess entwickeln wir eine allgemeine Technik (das erweist sich als nützlich, wenn MATLAB mit dem Partialbruchentwicklung zu helfen. Wir wissen, dass F (s) als Partialbruchentwicklung dargestellt werden, wie unten gezeigt :
Wir wissen, dass A2 und A3 sind konjugiert komplex voneinander:
Wir können nun die inverse Transformation der konjugiert komplexen Begriffe finden, indem sie als einfache Terme erster Ordnung (mit komplexen Wurzeln) zu behandeln.
Mit Hilfe der Vertuschung-Methode (oder, wahrscheinlicher, ein Computerprogramm) erhalten wir
Es ist leicht zu zeigen, dass das endgültige Ergebnis zu, daß äquivalentes zuvor gefunden, d.h.
Während dieses Verfahren etwas schwierig ist, von Hand zu tun, ist es sehr bequem vom Computer zu tun. Dies ist der Ansatz auf der Seite verwendet, die MATLAB-Techniken zeigt.
Schließlich präsentieren wir Methode 2, eine Technik, die leichter zu verarbeiten ist, wenn Probleme für Hand (für Hausaufgaben oder Prüfungen) zu lösen, ist jedoch weniger nützlich, wenn MATLAB verwenden.
So hat es sich gezeigt, dass die beiden Verfahren das gleiche Ergebnis ergeben. Verwenden Methode 1 mit MATLAB und verwendet Methode 2, wenn Probleme mit Bleistift und Papier zu lösen.
Beispiel - mehrere Expansionsverfahren Kombinieren
Finden Sie die inverse Laplace-Transformation
Lösung:
Die Fraktion, gezeigt ist, weist einen Term zweiter Ordnung im Nenner, der in erster Ordnung real nicht verringert werden kann. Wie in der Seite diskutiert beschreibt Partialbruchentwicklung. wir werden zwei Techniken verwenden. Die erste Technik schließt den Anteil expandiert, während der Term zweiter Ordnung mit komplexen Wurzeln im Nenner zu halten. Die zweite Technik beinhaltet „Quadratische Ergänzung.“
Da wir eine wiederholte Wurzel haben, lassen Sie uns Kreuzmultiplikation zu erhalten
Dann gleich wie Befugnisse s
Wir werden die oben Notation (Methode 1 - eine allgemeine Technik) abgeleitet verwenden. Die Wurzel des Nenners des A3 Term in der Partialbruchentwicklung ist bei s = -1 + 2j (dh der Nenner auf 0 geht, wenn s = -1 + 2j), ist die Größe von A3 √2, und der Winkel der A3 beträgt 225 °. Also, M = 2√2, φ = 225 °, ω = 2 und σ = -1. Die Lösung für f (t) erhalten wir
Dieser Ausdruck ist äquivalent zu dem in dem vorhergehenden Beispiel erhalten.
Wenn die Laplace-Domäne-Funktion nicht unbedingt richtig ist (das heißt die Reihenfolge des Zählers ist anders als die des Nenners) können wir nicht immediatley die oben beschriebenen Techniken anzuwenden.
Beispiel: Order of Numerator Equals Order of Denominator
Finden Sie die inverse Laplace der Funktion F-Transformation (s).
Lösung:
Für den Bruchteil unten gezeigt, ist die Ordnung des Zählers Polynom nicht geringer ist als die des Nenners Polynom, also zunächst wir lange Teilung durchführen
Nun können wir die Fraktion als Konstante und ein richtiges Verhältnis von Polynomen auszudrücken.
die Abdeckung nach oben Methode unter Verwendung zu erhalten A1 und A2 erhalten wir
Der letzte Fall werden wir prüfen, ist, dass der Exponentialgrößen im Zähler der Funktion.
Beispiel: Exponentials im Zähler
Finden Sie die inverse Laplace der Funktion F-Transformation (s).
Lösung:
Die Exponentialtermen weisen auf eine Zeitverzögerung (die Zeitverzögerung Eigenschaft sehen). Das erste, was wir tun müssen, ist Begriffe zu sammeln, die die gleiche Zeitverzögerung haben.
Wir führen nun eine Partialbruchentwicklung für jede Zeitverzögerung Laufzeit (in diesem Fall müssen wir nur mit der Verzögerung von 1,5 Sekunden die Erweiterung für den Begriff durchführen), aber im Allgemeinen müssen Sie für jeden Begriff eine vollständige Expansion tun.
Nun können wir die inverse tun Laplace jeden Begriff Transformation (mit den entsprechenden Zeitverzögerungen)