Es - s das Gesetz auch - die Gesetze der - Logarithmen
Siehe auch: Alle Gesetze der Logarithmen direkt ausfließen der Gesetze der Exponenten. Wenn Sie ein bisschen unsicher mit den Gesetzen der Exponenten fühlen, bitte überprüfen sie vor sich geht.
Logarithmus? Was ist ein Logarithm?
Ein Logarithmus ist nur ein Exponent.
Um genau zu sein, ist der Logarithmus einer Zahl x an eine Basis b nur der Exponent Sie auf b setzen, um das Ergebnis gleich x zu machen. Zum Beispiel, da 5² = 25, wissen wir, dass 2 (die Macht) ist der Logarithmus von 25 5. Symbolisch zu stützen, Log5 (25) = 2.
generisch, mehr, wenn x = y b. dann sagen wir, daß y „der Logarithmus von x zur Basis B“ oder „die Basis-b Logarithmus von x“ ist. In Symbolen, y = logb (x). Jede exponentielle Gleichung kann als eine logarithmische Gleichung umgeschrieben werden, und umgekehrt, nur durch den x- und y auf diese Weise Vertauschen.
Ein anderer Weg, um es zu betrachten, dass die logbx Funktion wie die Umkehrung der bx Funktion definiert ist. Diese beiden Aussagen Ausdruck bringen, dass inverse Beziehung, die zeigt, wie eine exponentielle Gleichung auf eine logarithmische Gleichung entspricht:
Beispiel 1: 1000 = 10 3 ist das gleiche wie 3 = log10 1000 auf.
Beispiel 2: 81 log 3 =. ist das gleiche wie in 3 = 81.
Es kann nicht oft genug gesagt werden: ein Logarithmus nichts anderes als ein Exponent ist. Sie können die obige Definition schreiben kompakt, und zeigen den log als Exponent, durch die zweite Gleichung in die erste Substitution von y zu beseitigen:
Lesen Sie, dass „der Logarithmus von x in der Basis b der Exponent Sie auf b setzen x als Ergebnis zu bekommen.“
Where Did Logs kommen?
Heute Protokolle werden nicht mehr verwendet, in Routine Zahlknirschens. Aber es gibt immer noch gute Gründe für sie zu studieren.
Warum wir uns interessieren?
(Historisch gesehen, war der Hauptgrund für den Unterricht Protokolle in der Grundschule Berechnung zu vereinfachen, da das Protokoll einer Multiplikation „degradiert“, um es einen Zusatz, und das Protokoll eines Leistungs Ausdrucks „degradiert“ es zu einer Vervielfachung. Natürlich mit die weit verbreitete Verfügbarkeit von Personal Computing Geräten, Schwierigkeiten bei der Berechnung ist nicht mehr ein Problem, aber Protokolle haben noch viele Anwendungen in ihrem eigenen Recht.)
„Base“ ic Fakten
Aus der Definition eines Protokolls als inverse einer exponentiellen, können Sie sofort einige grundlegende Fakten bekommen. Zum Beispiel, wenn man Graphen y = 10x (oder die exponentiellen mit einer anderen positiven Basis), man sieht, dass sein Bereich positive reelle Zahlen ist; daher die Domäne von y = log x (auf jede Base) ist die positive reelle Zahlen. Mit anderen Worten: Sie können nicht nehmen 0 Loggen Sie sich oder loggen eine negative Zahl.
Log von 1, 1 Protokoll Equaling
Sie wissen, dass alles, was auf den Nullleistung 1. b 0 = 1. Änderung ist, dass in logarithmische Form mit der Definition von Protokollen und Sie haben
Warum Basis e. Was ist das Besondere an e. Die meisten der Erklärungen müssen einige Kalkül, zum Beispiel, dass Ex die einzige Funktion ist, die sein ist sowohl eigene Integral- und sein eigenes Derivat oder dass e hat diese schöne Definition in Bezug auf factorials:
e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! +.
e (wie π) Kulturen in allen möglichen unwahrscheinlichsten Orten, wie Berechnungen von Zinsen und Zinseszinsen auf. Es wäre ein Buch nehmen, zu erklären, und zum Glück gibt es ein Buch, Eli Maor E: Die Geschichte einer Zahl. Er geht auch in die Geschichte der Logarithmen, und das Buch lohnt sich aus Ihrer Bibliothek zu bekommen.
Die Kombination von Logs mit der gleichen Basis
In einer Minute werden wir bei den verschiedenen Kombinationen suchen. Aber zuerst möchten Sie vielleicht das allgemeine Prinzip wissen: Protokolle Operationen um eine Stufe zu verringern. Protokolle wiederum eine Multiplikation in eine Addition, eine Aufteilung in eine Subtraktion, einen Exponenten in eine Multiplikation und eine in einer Abteilung radikal. Nun wollen wir sehen, warum, und einige Beispiele an.
Multiplizieren Sie Zahlen, fügen Sie ihre Logarithmen
zwei Ausdrücke Multipliziert entspricht ihre Logarithmen zu addieren. Können wir Sinn davon?
Lassen Sie sich nicht kreativ! Die meisten Varianten der oben genannten sind nicht gültig.
Beispiel 18: log (5 + x) ist nicht das gleiche wie log 5 + x log. Wie Sie wissen, log 5 + log x = log (5x), nicht log (5 + x). Achten Sie genau auf der obigen Tabelle und Sie werden sehen, dass es nichts, was Sie tun können, um sich trennen log (x + y) oder log (x -y).
Beispiel 19: (log x) / (y log) ist nicht das gleiche wie log (x / y). In der Tat, wenn Sie zwei Protokolle auf die gleiche Basis teilen, arbeiten Sie die Change-of-Basisformel nach hinten. Obwohl es nicht oft nützlich ist, (log x) / (log y) = logyx. Nur nicht schreiben log (x / y)!
Beispiel 20: (log 5) (log x) ist nicht das gleiche wie log (5x). Sie wissen, dass log (5x) log 5 + x log. Es gibt wirklich nicht viel Sie mit dem Produkt von zwei Protokollen tun können, wenn sie die gleiche Basis haben.
Schlussfolgerung
Nun, da haben Sie es: die Gesetze der Logarithmen entmystifiziert! Die allgemeine Regel ist, dass Protokolle einfach eine Drop-Operation eine Ebene tiefer: Exponenten Multiplikatoren werden, Spaltungen Subtraktionen werden, und so weiter. Wenn überhaupt sind Sie eine Operation nicht sicher, wie, wie Basis zu ändern. arbeiten sie unter Verwendung der Definition eines Protokolls und Anwendung der Gesetze von Exponenten aus. und Sie werden nicht schief gehen.
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