Q Was für eine Fourier-Transformation Was ist wird es verwendet, Stellen Sie eine Mathematikerin
Physiker. Fast jede erdenkliche Signal nach unten in eine Kombination von einfachen Wellen gebrochen werden. Diese Tatsache ist die zentrale Philosophie hinter Fourier-Transformationen (Fourier sehr Französisch war, so sein Name ist ein wenig wackelig ausgesprochen: „4 E yay“).
Ein kompliziertes Signal kann in einfache Wellen gebrochen werden. Diese brechen, und wie viel jeder Welle benötigt wird, ist die Fourier-Transformation.
Fourier-Transformationen (FT) nehmen ein Signal und drücken es in Bezug auf die Frequenzen der Wellen, die dieses Signal bilden. Sound ist wahrscheinlich die einfachste Sache zu denken, wenn es um Fourier-Transformationen zu sprechen. Wenn Sie den Ton sehen könnten, würde es wie Luftmoleküle schaut hin und her sehr schnell abprallen. Aber seltsam genug, wenn Sie hören, klingen Sie nicht die Luft wahrzunehmen hin und her bewegen, stattdessen erleben Sie den Ton in Bezug auf ihre Frequenzen. Zum Beispiel, wenn jemand Mitte C auf einem Klavier spielt, fühlen Sie sich nicht Ihr Ohr 261-mal pro Sekunde (die Häufigkeit der Mitte C) und hergeworfen wird, hören Sie nur einen einzigen Ton. Die buffeting Bewegung der Luft ist das Signal, und der Ton ist die Fourier Transformation dieses Signals.
Das Layout der Tasten eines Klaviers (unten) sind wie die Fourier-Transformation der Klang simulieren das Klavier macht (oben).
Die Fourier-Transformation einer Schallwelle ist so eine natürliche Art und Weise, darüber nachzudenken, dass es ein bisschen schwierig ist, darüber in irgendeiner anderen Art und Weise zu denken. Wenn Sie einen Ton vorstellen oder ein Instrument spielen, es ist viel einfacher, den Ton des Klangs als die tatsächliche Bewegung der Luft zu betrachten.
Ein Beispiel für eine Fourier-Transformation, wie auf der Vorderseite eines Soundsystems gesehen.
In der Tat, wenn der Ton digital die Stärke der Schallwelle aufgezeichnet selbst aufgezeichnet werden kann (das ist, was eine „.wav“ Datei ist), aber häufiger in diesen Tagen die Fourier-Transformation statt aufgezeichnet. In jedem Augenblick eine Liste der Stärken der verschiedenen Frequenzen „abgewertet“ (wie im Bild oben). Dies ist mehr oder weniger, was ein MP3 (mit vielen anderen Tricks) ist. Es ist nicht, bis ein Lautsprecher den Ton physisch zu spielen hat, dass die FT in ein reguläres Tonsignal eingeschaltet wird.
Ältere analoge Aufzeichnungstechniken, wie diese Vinylschallplatte, Aufzeichnen des Originalklangsignals und nicht das FT.
In Form eines FT ist es einfach, den Klang zu filtern. Zum Beispiel, wenn Sie den Equalizer auf Ihrem Soundsystem anpassen, wie wenn die Bässe oder Höhen zu ändern, was du wirklich tust, ist das Gerät zu sagen, die verschiedenen Frequenzen, die durch unterschiedliche Mengen zu multiplizieren, bevor das Signal an die Lautsprecher zu senden. Also, wenn die Basis die niedrigeren Frequenzen durch einen größeren Wert als die höheren Frequenzen multipliziert bekommen auftaucht.
Allerdings Akustik ist nur die einfachste Anwendung der FT. Ein Bild ist ein andere Art von Signal, aber im Gegensatz zu Ton ein Bild ist ein „zweidimensionaler“ -Signal. Eine andere Art von FT kann noch gefunden werden, und es ist ebenfalls zweidimensional. Wenn dieser erstes auf Computer durchgeführt wurde, wurde festgestellt, dass für so ziemlich jedes Bild, das nicht zufällig statisch ist, die meisten des FT um die unteren Frequenzen konzentriert ist. Auf den Punkt gebracht, ist dies, weil die meisten Bilder (wie etwas „Wo ist Walter?“ Würde eine Ausnahme) nicht schnell über kleine Entfernungen ändern, so dass die höheren Frequenzen sind nicht so wichtig. Dies ist die Grundidee hinter „jpeg“ Kodierung und Komprimierung (obwohl es auch andere clevere Tricks beteiligt).
Ein Bild und seine Fourier-Transformation. Beachten Sie, dass die meisten der FT ist in der Mitte (niedrige Frequenzen) konzentriert. die FT Löschen vom Zentrum entfernt spart eine Menge Daten, und zu viel Schaden das Bild nicht tun. Dies ist ein „Tiefpassfilter“ genannt.
Während der digitale Technologie in einer Explosion von Anwendungen für Fourier-Transformationen eingeläutet hat, ist es ein langer Weg die einzige Verwendung von zu sein. Sowohl in Mathematik und Physik Sie feststellen, dass FT schweben um hinter den Kulissen in allem freaking. Jedes Mal, Wellen beteiligt sind, in etwas (was oft), können Sie sicher sein, dass Fourier-Transformationen nicht weit weg sein. Es ist häufig einfach etwas mit einer einzigen, einfachen Welle zu beschreiben, wie Pendel oder einem einziger hüpfenden Ball. Oft (aber sicher nicht immer) ist es möglich, komplexe Systeme in einfache Wellen zu brechen (oder ungefähr zu tun dies), dann zu sehen, wie diese Wellen verhalten sich einzeln und dann das Verhalten des Systems als Ganzes zu rekonstruieren. Im Grunde ist es einfach, mit „sin (x)“ beschäftigen, aber schwierig mit einer völlig unbekannten Funktion „f (x)“ zu beschäftigen.
Physikern springen zwischen sprechen über Funktionen und deren Fourier-Transformationen so oft, dass sie kaum den Unterschied sehen. Zum Beispiel für nicht-schrecklich-offensichtlichen Gründen in der Quantenmechanik die Fourier-Transformation der Position eines Teilchens (oder irgendetwas wirklich) ist der Impuls des Teilchens. Wörtlich wenn etwas viel Schwung hat und Energie, um seine Welle hat eine hohe Frequenz und Wellen hin und her viel. Anwenden von Fourier Sachen Quantenmechanik ist eine der direktesten Wege, um die berüchtigte Heisenbergsche Unschärferelation abzuleiten. FT zeigt auch in Quantencomputern auf, wie in diesem shoddily geschriebenen Artikel beschrieben.
Mathematiker sind in der Regel mehr begeistert von den abstrakten mathematischen Eigenschaften des Fourier als durch die intuitivere Eigenschaften transformiert werden. Viele Probleme, die schwer / fast unmöglich, direkt einfach geworden zu lösen nach einer Fourier-Transformation. Mathematische Operationen auf Funktionen, wie Derivate oder Faltungen. wird viel mehr überschaubar auf der anderen Seite von einem Fourier-Transformation (obwohl noch häufiger macht die FT gerade dabei alles noch schlimmer).
Antwort Soße. Fourier-Transformationen sind natürlich zutiefst mathematisch. Wenn Sie eine Funktion, f haben, die sich jedes 2π wiederholt, dann kann man es als eine Summe von Sinus- und Cosinus-Wellen wie folgt ausdrücken:.
Es stellt sich heraus, dass diejenigen, A ist und B ist relativ leicht zu finden. Sinus und Cosinus haben eine Eigenschaft namens „Orthogonalität“.
f (x) = sin (x) cos (2x). Die Orthogonalität von Sinus- und Kosinusfunktionen ist eine Aussage über die Tatsache, dass Sinus und Kosinus unterschiedlicher Frequenzen Mischfunktionen erzeugt, die positiv sind genau so oft wie sie negativ sind (Null im Durchschnitt).
Nun sagen Sie wollen herausfinden, was B3 (zum Beispiel) ist. Multiplizieren Sie einfach beiden Seiten durch cos (3x), und von 0 bis 2π integrieren.
Sie können für all die A dies tun und B, so und.
Unter Ausnutzung der Euler-Gleichung e i & thgr; = cos (θ) + i (θ) sin, können Sie diese komprimieren in eine Gleichung:,. Es gibt einige wichtige Details, die hinter dieser nächsten Bit, aber wenn man die Größe des Intervalls von erweitern [0, 2π] auf (-∞, ∞) erhalten Sie:
und hier statt Cn. Sie haben und statt einer Summe haben Sie einen integralen, aber die wesentliche Idee ist die gleiche. Hier ist die ehrlich zu Gott tatsächlichen Fourier-Transformation von f.
Wenn Sie bei einer Differentialgleichung suchen. dann können Sie viele von ihnen lösen ziemlich schnell FT verwenden. Derivate werden Multiplikation mit einer Variablen, wenn sie durch ein FT geführt. Hier ist wie:
Die Schallplattenrille Bild ist von hier.
Die Lenna Bilder sind von hier.
Das obere Bild mit den vier Wissenschaftlern ist von hier.
Dies ist eine recht breite Frage, und es ist in der Tat sehr schwer zu lokalisieren, warum genau Fourier-Transformationen in der Signalverarbeitung wichtig sind. Die einfachste, Hand winken Antwort ein zur Verfügung stellen kann, ist, dass es ein extrem leistungsfähiges mathematisches Werkzeug ist, dass Sie Ihre Signale in einer anderen Domäne anzeigen können, innerhalb dessen mehrere schwierige Probleme sehr einfach geworden zu analysieren.
Seine Allgegenwart in nahezu allen Bereichen der Technik und Naturwissenschaften, die alle aus unterschiedlichen Gründen, macht es umso schwieriger, einen Grund zu verengen. Ich hoffe, dass auf einige seiner Eigenschaften suchen, die zusammen mit einigen praktischen Beispielen und einem Hauch von Geschichte zu seiner weit verbreiteten Annahme führte man könnte helfen, ihre Bedeutung zu verstehen.
Geschichte:
Um zu verstehen, transformieren die Bedeutung der Fourier, ist es wichtig, ein wenig und schätzen die Kraft der Fourier-Reihe von Joseph Fourier streckte einen Schritt zurück. In einer Mutter-Schale, jede periodische Funktion g (x) g (x) integrierbar in der Domäne D = [- π, π] D = [- π, π] kann als unendliche Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen geschrieben werden als
g (x) = & Sigma; k = -∞∞τkeȷkx
g (x) = & Sigma; k = -∞∞τkeȷkx
& tau; k = 12π∫Dg (x) e-ȷkx dx
& tau; k = 12π∫Dg (x) e-ȷkx dx
wobei eıθ = cos (θ) + ȷsin (θ) = eıθ cos (θ) + ȷsin (θ). Diese Idee, dass eine Funktion in seine konstituierenden Frequenzen gebrochen werden kann (das heißt in Sinus- und Cosinus aller Frequenzen) war ein mächtiger und bildet das Rückgrat der Fourier-Transformation.
Die Fourier-Transformation:
Die Fourier-Transformation kann als eine Erweiterung der oben genannten Fourier-Reihe, um nicht-periodische Funktionen betrachtet werden. Für Vollständigkeit und Klarheit werden definiere ich die Fourier-Transformation hier. Wenn x (t) x (t) ein kontinuierliches, integrierbare Signal ist, dann ist seine Fourier-Transformation X (f) X (f) gegeben ist durch
X (f) = ∫Rx (t) e-ȷ2πft dt, ∀f∈R
X (f) = ∫Rx (t) e-ȷ2πft dt, ∀f∈R
und die inverse Transformation ist gegeben durch
x (t) = ∫RX (f) df eȷ2πft, ∀t∈R
x (t) = ∫RX (f) df eȷ2πft, ∀t∈R
Bedeutung in der Signalverarbeitung:
In erster Linie ein Fourier eines Signals Transformation erfahren Sie, welche Frequenzen in Ihrem Signal vorhanden sind, und in welchem Verhältnis.
Beispiel: Haben Sie jemals bemerkt, dass jeder Ihrer Telefonnummerntasten klingt anders, wenn Sie während eines Gesprächs drücken, und dass es klingt das gleiche für jedes Handy-Modell? Das ist, weil sie jeweils aus zwei verschiedenen Sinusoide sind, die verwendet werden können, um eindeutig die Schaltfläche zu identifizieren. Wenn Sie Ihr Telefon in Kombinationen lochen ein Menü zu navigieren, die Art und Weise, dass die andere Partei weiß, welche Tasten Sie bei den Frequenzen, indem Sie stellen ein Fourier-Transformation des Eingangs und auf der Suche gedrückt ist.
Abgesehen von einigen sehr nützlichen elementaren Eigenschaften, die die Mathematik beteiligte einfach zu machen, einige der anderen Gründe, warum es eine so weit verbreitete Bedeutung in der Signalverarbeitung hat, sind:
Die Größe Quadrat der Fourier-Transformation, | X (f) | 2 | X (f) | 2 sagt uns sofort, wie viel Strom das Signal x (t) x (t) bei einer bestimmten Frequenz ff hat.
Von Parseval-Theorem (allgemeine Plancherel Theorem), haben wir
∫R | x (t) | 2 dt = ∫R | X (f) | 2 df
∫R | x (t) | 2 dt = ∫R | X (f) | 2 df
was bedeutet, dass die Gesamtenergie in einem Signal über alle Zeit zur Gesamtenergie in dem Transformations über alle Frequenzen gleich ist. So verwandeln die erhaltend ist Energie.
Faltungen in der Zeitdomäne ist Multiplikationen im Frequenzbereich äquivalent, das heißt bei zwei Signalen x (t) x (t) und y (t) y (t), dann, wenn
z (t) = x (t) ⋆y (t)
z (t) = x (t) ⋆y (t)
wo ⋆⋆ Faltung bezeichnet, dann die Fourier-Transformation von z (t) z (t) ist bloß
Z (f) = X (f) ⋅y (f)
Z (f) = X (f) ⋅y (f)
Für diskrete Signale, mit der Entwicklung von effizienten Algorithmen FFT, fast immer ist es schneller eine Faltungsoperation im Frequenzbereich zu implementieren als in der Zeitdomäne.
Ähnlich wie bei der Faltungsoperation, werden Kreuzkorrelationen auch in der Frequenzdomäne als Z (f) = X (f) * Y (f) Z (f) = X (f) * Y (f) leicht implementiert, wobei ** komplexe konjugierte bezeichnet.
Durch die Möglichkeit, Signale in ihre konstituierenden Frequenzen aufzuteilen, kann man leicht bestimmte Frequenzen blockiert selektiv durch ihre Beiträge zunichte gemacht.
235Hz, die es leicht gemacht, für die Sender einen Kerbfilter zu implementieren, das störende Rauschen cut-off. [1]
Eine verschobene (verzögerte) Signal in der Zeitdomäne manifestiert sich als eine Phasenänderung in der Frequenzdomäne. Während dies im Rahmen der elementaren Eigenschaft Kategorie fällt, ist dies eine weit in der Praxis verwendete Eigenschaft, vor allem in der Bildgebung und Tomographie-Anwendungen,
Beispiel: Wenn eine Welle durch ein heterogenes Medium bewegt, es verlangsamt und beschleunigt entsprechend den Änderungen in der Geschwindigkeit der Wellenausbreitung in dem Medium. So durch eine Änderung in der Phase aus der Beobachtung, was zu erwarten und was gemessen hat, kann man die übermäßige Zeitverzögerung geschlossen werden, was wiederum Sie sagt, wie viel die Wellengeschwindigkeit in dem Medium verändert hat. Dies ist natürlich eine sehr vereinfachte Laie Erklärung, sondern bildet die Grundlage für die Tomographie.
Derivate von Signalen (nth-Derivate zu) kann leicht (siehe 106) unter Verwendung von Fourier-Transformationen berechnet werden.
eȷωt
eȷωt
und komplex Exponentialfunktionen sind die Eigenfunktionen für lineare, zeitinvariante Systeme.
y = H [eȷωt] = Aeȷφeȷωt
y = H [eȷωt] = Aeȷφeȷωt
So ist die Fourier-Transformation ist ein nützliches Werkzeug für die Analyse von linearen, zeitinvarianten Systemen.
Die digitale Signalverarbeitung (DSP) vs. Analogsignalverarbeitung (ASP)
Die Theorie der Fourier-Transformierten ist anwendbar unabhängig davon, ob das Signal kontinuierlich oder diskret, so lange es „nett“ und absolut integrierbar ist. Also ja, ASP verwendet Fourier-Transformationen, solange die Signale dieses Kriterium erfüllen. Es ist aber vielleicht häufiger über Laplace-Transformation zu sprechen, die eine verallgemeinerte Fourier, in ASP-Transformation. Die Laplace-Transformierten definiert ist als
X (s) = ∫∞0x (t) e-st dt, ∀s∈C
X (s) = ∫0∞x (t) e-st dt, ∀s∈C
Der Vorteil ist, das ist eine nicht unbedingt auf „schöne Signale“ beschränkt, wie in der Fourier-Transformation, aber die Transformation gilt nur innerhalb einer bestimmten Region der Konvergenz. Es ist weit verbreitet in dem Studium / Analyse / Gestaltung LC / RC / LCR-Schaltungen, die wiederum verwendet werden, in Radios / E-Gitarren, Wah-Wah-Pedale etc. verwendet
Daniel Champagne sagt: