Gleichungssysteme durch Substitutionsmethode
Gegeben seien zwei Gleichungen einer Linie, wir wollen, wenn sie an einem einzigen Punkt schneiden finden. Wenn sie das tun, sagen wir, dass es eine eindeutige Lösung hat, die als Punkt in der Koordinatenachse beschrieben werden kann. Das Verfahren der Substitution ist eine effiziente Möglichkeit, um die genauen Werte von x und y unter Verwendung von algebraischen Manipulationen zu finden.
Das folgende Diagramm zeigt zwei beliebige Linien zeigen, wo sie Pfad durch das geordnete Paar (x, y) beschrieben, kreuzen. In dieser Lektion sind wir für diesen gemeinsamen Punkt in manuell lösen interessiert.
Beispiel 1: Mit dem Verfahren der Substitution für das System zu lösen.
Die Idee ist, eine der beiden angegebenen Gleichungen zu wählen, und für einen der Variablen x oder y zu lösen. Das Ergebnis in unserem ersten Schritt wird in die andere Gleichung ersetzt werden. Der Effekt wird eine einzelne Gleichung mit einer Variablen sein, die wie üblich gelöst werden können.
Es hängt völlig die Gleichung Sie werden denken, viel einfacher zu handhaben. Es ist deine Entscheidung. Beachten Sie, dass die Top-Gleichung eine Variable x enthält, die „allein“ ist - was bedeutet, dessen Koeffizient +1. Denken Sie daran, immer für dieses Merkmal aussehen (ein „allein“ Variable), weil es Ihr Leben viel einfacher machen. Starten Sie nun, ich die Top-Lösung der Gleichung für x.
Da ich weiß, was x in Bezug auf die y gleich ist, kann ich diesen Ausdruck in die andere Gleichung stecken. Damit werde ich eine Lösung der Gleichung mit einer einzigen Variablen am Ende.
Hoffentlich bekommen Sie den gleichen Wert von y = -5. Nun, da ich weiß, was der genaue Wert von y ist, werde ich für die andere Variable (in diesem Fall x) lösen, indem sie seinen Wert in eine der ursprünglichen zwei Gleichungen zu bewerten. Es spielt keine Rolle, die Sie ursprüngliche Gleichung wählen, weil es letztlich die gleiche Antwort geben.
Allerdings muss ich sagen, dass die „besten“ Weg für x zu lösen, ist die überarbeitete Gleichung zu verwenden, die ich vorher gelöst haben, da ich „x = y etwas“ haben. Recht?
Hier bekomme ich x = 1. In Punkt Notation Form kann die endgültige Antwort geschrieben werden (1, -5). Denken Sie daran, dies ist der Punkt, an dem sich die beiden Linien schneiden.
Es ist immer eine gute Gewohnheit, diese Werte in die ursprünglichen Gleichungen zu überprüfen, um zu überprüfen, ob sie wirklich die richtigen Antworten sind. Ich schlage vor, dass Sie sie jederzeit überprüfen.
Grafisch sieht die Lösung wie folgt aus.
Beispiel 2: Mit dem Verfahren der Substitution für das System zu lösen.
Die offensichtliche Wahl ist hier die untere Gleichung auszuwählen, da der Variable y einen Koeffizienten positiv (+1) aufweist. Jetzt kann ich leicht für y in Bezug auf x lösen. Um zu beginnen, werde ich beiden Seiten mit 3x subtrahieren.
Nach dem Auflösen nach y von der unteren Gleichung, Ich möchte nun in die obere Gleichung und ersetzen den Ausdruck für y in Bezug auf x. Das Ergebnis wird eine mehrstufiger Gleichung mit einer einzigen Variablen sein.
Lösen Sie diese Gleichung durch die Klammer zunächst vereinfacht wird. Danach, wie Begriffe in beiden Seiten zu verbinden und die Variable auf der linken Seite isolieren. Ihre Lösung sollte unter ähnlich sein.
Wenn Sie richtig für x gelöst, sollten Sie auch auf den Wert x = 3 ankommen.
Da die überarbeitete untere Gleichung bereits in Form geschrieben, dass Ich mag, werde ich es verwenden, um den genauen Wert von y zu lösen.
Mit dem erhaltenen Wert, y = 1. Ich nun die endgültige Antwort als geordnetes Paar schreiben kann (3,1).
Wie ich bereits erwähnt, immer überprüfen, die endgültigen Antworten selbst zu sehen, ob sie die ursprünglichen Gleichungen überprüfen.
Im Diagramm ist die Lösung der Schnittpunkt der beiden Linien gegeben.
Beispiel 3: Mit dem Verfahren der Substitution für das System zu lösen.
Dies ist ein gutes Beispiel, weil ich zwei Möglichkeiten habe, das Problem zu nähern. Die Variablen x und y beide positiv (+1) als ihre Koeffizienten. Dies bedeutet, dass ich in beiden Richtungen gehen kann.
Für dieses Beispiel werde ich für y lösen. Ich kann es einfach tun, indem beide Seiten von x subtrahiert und neu anordnen.
Als nächstes wird die andere Gleichung I aufzuschreiben und seine y ersetzen durch y = -x + 3.
Nach der Lösung über den mehrstufigen Gleichung, erhalte ich x = 5. Nun wende ich mich auf die transformierte Version der Top-Gleichung für y zu lösen.
Tatsächlich schneiden die beiden Linien an dem Punkt, wir berechnet!
Beispiel 4: Mit dem Verfahren der Substitution für das System zu lösen.
Ich finde das Problem interessant, weil ich nicht eine Situation, wo die Variable „allein“ finden. Auch hier ist unsere Definition „allein“ zu sein, einen Koeffizienten von 1 aufweisen. Merken?
Sowohl die oberen und unteren Gleichungen hier enthalten eine Variable mit einem negativen Symbol. Ich schlage vor, dass, wenn Sie etwas sehen, dass die negative Symbol auf -1 ändern. Ich Platzierung einen blauen Pfeil rechts neben ihm zur Betonung (siehe unten).
Von hier aus kann ich die Lösung für y gehen die Top-Gleichung oder für x mit dem Boden verwendet wird. Für diese Übung werde ich auf der unteren Gleichung arbeiten.
dass Hinweis für x zu lösen, teilte ich die gesamte Gleichung mit -1. Sie können hier sehen, dass das Aussehen der Gleichung drastisch verändert.
Ich hoffe, Sie haben y = -4 auch. Andernfalls überprüfen und Ihre Schritte prüfen in der mehrstufigen Gleichung zu lösen.
Als nächstes wird dieser Wert von y verwenden und sie in der transformierten Version der unteren Gleichung für x zu lösen ersetzen.
Die Grafik stimmt mit uns auf, wo die beiden Linien schneiden. Groß!
Beispiel 5: Mit dem Verfahren der Substitution für das System zu lösen.
Bei diesem Problem ist es möglich, die y auf der oberen Gleichung zu isolieren und das gleiche für x an der Unterseite Gleichung zu tun. Haben einige Kratzer Arbeit und es sollte viel mehr Sinn machen.
Sie werden erkennen, dass entweder x oder y kann leicht gelöst werden, da keine Brüche in dem Prozess erzeugt werden. Für diese Übung wähle ich mit der Top-Gleichung für y zu lösen beschäftigen.
Wie vorhergesagt, kam für y Lösung schön aus. Jetzt werde ich diesen Wert für y verwenden und in die y der unteren Gleichung ersetzen. Dann werde ich gehen Sie wie üblich die resultierende Gleichung zu lösen.
Wenn Sie es richtig gemacht haben, sollten Sie Ihre Antwort kommen als x = 2. Schließen Sie diesen Wert von x in die überarbeitete Version der Top-Gleichung für den genauen Wert von y zu lösen.
Hier bekam ich y = -5. Das macht unsere endgültige Antwort als das geordnete Paar (2, -5).
Der Graph bestätigt unsere berechneten Werte für x und y.