Spirale des Theodorus
In der Geometrie (auch genannte Quadratwurzel Spirale. Einstein Spirale oder pythagoreischen Spirale) die Spirale des Theodorus ein Spiral ofcontiguous rechtwinklige Dreiecken zusammengesetzt ist. Es wurde zuerst von Theodorus von Cyrene konstruiert.
Bau
Die Spirale ist mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks, wobei jeder Schenkel Längeneinheit gestartet. Ein weiteres rechtwinkliges Dreieck gebildet wird, ein automedian rechtwinkliges Dreieck mit einem Beine der Hypotenuse des Dreiecks vor (mit einer Länge √2) und die anderen Schenkel mit einer Länge von 1; die Länge der Hypotenuse des zweiten Dreiecks ist √3. Der Vorgang wiederholt sich dann; die i-te Dreieck in der Folge ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen √i und 1 und mit Hypotenuse √ (i + 1).
Obwohl alle Theodorus Arbeit verloren gegangen ist, legte Plato Theodorus in seinem Dialog Theaitetos. was erzählt von seiner Arbeit. Es wird angenommen, dass Theodorus hatte bewiesen, dass alle die Quadratwurzeln nicht quadratischer ganze Zahlen von 3 bis 17 durch die Spirale des Theodorus irrational sind.
Plato nicht die Irrationalität der Quadratwurzel von 2 bis Theodorus Attribut, weil es gut vor ihm bekannt war. Theodorus und Theaetetus spalten die rationalen Zahlen und irrationale Zahlen in verschiedene Kategorien.
Hypotenuse
Jede der Dreiecke Hypotenusen Hallo gibt die Quadratwurzel der entsprechenden natürlichen Zahl, mit h1 = √2.
Plato, betreutes von Theodorus, die Frage, warum Theodorus bei √17 gestoppt. Der Grund wird allgemein geglaubt zu sein, dass die √17 Hypotenuse zum letzten Dreieck gehört, die die Figur nicht überlappen.
Overlapping
Im Jahr 1958 erwies sich Erich Teuffel, dass keine zwei Hypotenuse jemals zusammenfallen, und zwar unabhängig davon, wie weit die Spirale fortgesetzt. Auch, wenn die Seiten der Einheitslänge in eine Linie verlängert, werden sie nie durch eine der anderen Ecken der Gesamtzahl übergeben.
Theodorus hielt seine Spirale am Dreieck mit einer Hypotenuse √17. Wenn die Spirale unendlich viele Dreiecke fortgesetzt wird, sind viele weitere interessante Eigenschaften gefunden.
Wachstumsrate
Wenn & Phi; n ist der Winkel der n-ten Dreiecks (oder spiral-Segment), dann gilt:
Daher ist das Wachstum des Winkels & phi; n des nächsten Dreiecks n:
Die Summe des Winkels der ersten k Dreiecken wird den Gesamtwinkel φ (k) für die k-ten Dreieck genannt, und es ist gleich:
Das Wachstum des Radius der Spirale in einem bestimmten Dreieck n
archimedische Spirale
Die Spirale von Theodorus nähert sich der archimedischen Spirale. So wie der Abstand zwischen zwei Windungen der archimedische Spirale mathematische constantpi gleich, wie die Anzahl der Spins der Spirale von Theodorus Unendlichkeit nähert, nähert sich der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Windungen schnell π.
Das Folgende ist eine Tabelle, die den Abstand zweier Windungen der Spirale zeigt Annäherung pi:
Berechnete mittlere Wicklungsdistanz
Die Genauigkeit der durchschnittlichen Wicklungsdistanz im Vergleich zu & pgr;