Sparknotes Vektor-Multiplikation Das Kreuz Artikel (Seite 2)
für eine Konstante c. Denn später werden wir die Größe des resultierenden Vektors wollen geometrische Bedeutung haben, müssen wir ck Einheitslänge haben. Mit anderen Worten, kann c entweder +1 oder -1 sein. Jetzt machen wir eine völlig willkürliche Wahl, um mit der Konvention zu entsprechen: wir c = + 1. Die Tatsache, dass wir wählen c gewählt haben, positiv zu sein als die rechte Hand-Regel bekannt (wir könnten genauso gut gewählt haben, c = - 1. und die Mathematik würde so lange die gleiche sein, alle arbeiten, wie wir übereinstimmten - aber wir haben den einen oder anderen zu wählen, und es gibt keinen Gebrauch geht gegen das, was alle anderen nicht) Es stellt sich heraus, dass in Ordnung. um im Einklang mit der rechten Hand-Regel, die alle der Kreuzprodukte zwischen Einheitsvektoren eindeutig bestimmt sind:
Insbesondere bemerken, dass die Reihenfolge der Vektoren innerhalb der Kreuzprodukte hält Bedeutung. Im Allgemeinen u × v = - v × u. siehe Von hier aus können wir, dass das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst immer gleich Null ist, da durch die obige Regel u × u = - u × u. was bedeutet, dass beide Seiten für die Gleichstellung verschwinden müssen zu halten. Wir können jetzt unsere Liste der Kreuzprodukte zwischen Einheitsvektoren und füllen die Beobachtung:
Leider ist dies so einfach wie es nur geht, wenn es darum geht, in Bezug auf die Vektorkomponenten ausdrücklich Kreuzprodukt auszuschreiben. Es ist wahrscheinlich ein guter diese Formel handlich zu halten, bis Sie zur Berechnung von Vektorkreuzprodukten verwendet werden.
Glücklicherweise, wie der Fall mit dem Punktprodukt ist, gibt es eine einfache geometrische Formel zur Berechnung des Kreuzprodukt zweier Vektoren, wenn ihre jeweiligen Längen und die Winkel zwischen ihnen bekannt ist. Betrachten Sie das Kreuzprodukt von zwei (nicht notwendigerweise Einheitslänge) Vektoren, die lediglich entlang der x- und y-Achse liegt (wie i und j tun). Wir können also die Vektoren als u = ai und v = bj schreiben. für einige Konstanten a und b. Das Kreuzprodukt u × v ist also gleich
Beachten Sie, dass die Größe des resultierenden Vektors gleich der Fläche des Rechtecks mit Seiten ist, u und v wie oben versprochen, um die Größe des Kreuzprodukts zwischen zwei Vektoren. | u × v |. eine geometrische Interpretation. Im allgemeinen ist es auf die Fläche des Parallelogramms gleich die zwei gegebenen Vektoren als ihre Seiten aufweist (siehe).
Von der Grundgeometrie, wissen wir, dass dieser Bereich für Bereich gegeben ist = | u || v | sin. wo | u | und | v | sind die Längen der Seiten des Parallelogramms, und θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist. Beachten Sie, dass, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander sind, θ = 90 Grad, so sin & theta; = 1 und wir erholen die bekannte Formel für die Fläche eines Quadrats. Auf der anderen Seite wird, wenn die zwei Vektoren parallel sind, θ = 0 Grad, und sin & theta; = 0 ist, was bedeutet, den Bereich verschwindet (wie wir erwarten). Im Allgemeinen dann finden wir, dass die Größe des Kreuzproduktes zwischen zwei Vektoren u und v, die um einen Winkel θ getrennt sind (von u nach v im Uhrzeigersinn geht, wie durch die rechte Hand-Regel festgelegt.) Gegeben ist durch: